Penerapan Turunan

Dalam Bidang Fisika

Matematika merupakan ilmu dasar dari segala ilmu yang lain,sekarng ini matematika digunakan sebagai alat penting di berbagai bidang ilmu pengetahuan,salah satunya dalam bidang pengetahuan fisika dengan menghubungkan fungsi suatu turunan parsial dalam bidang tersebut.
Sebelum diperjelas apa saja hubungan diatas kita harus tahu dulu definisi dari turunan parsial itu sendiri. Turunan parsial itu adalah suatu proses melakukan differensial  dari suatu fungsi yang hanya melibatkan satu macam variabel dari keseluruhan variabel yang berkontribusi terhadap perubahan fungsi tersebut.
Berikut ini adalah contoh turunan parsial yang menggunakan 3 variabel. Dalam bidang fisika saya mengambil contoh rumus jarak yang ditempuh oleh benda yaitu: y = ½gx²+v_0x+y₀ dimana y₀ menyatakan jarak awal dari titik 0. Apabila rumus ini diturunkan menjadi turunan yang pertama y’ = dy/dx maka akan menjadi y= gx+v₀, dimana v₀ menyatakan kecepatan awal. Rumus ini masih bisa diturunkan menjadi turunan yang kedua yaitu d2y/dx2, menjadi y=g(konstan), sehingga menjadi rumus percepatan, dimana jika suatu benda dijatuhkan dari ketinggian tertentu di atas permukaan bumi.
Sehingga kita dapat mengetahui bahwa dengan turunan parsial, kita dapat membuktikan rumus-rumus dari turunan sebelumnya. Seperti rumus diatas dari rumus jarak,hingga dapat rumus percepatan. Rumus-rumus itu didapat hanya dari satu rumus saja.
Dengan demikian turunan parsial dibilang sebagai hubungan yang mengaitkan suatu fungsi dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud.

Banyak proses fisika yang dapat dideskripsikan dengan turunan, disebut sebagai persamaan diferensial. Fisika secara spesifik mempelajari perubahan kuantitas terhadap waktu, dan konsep "turunan waktu"—laju perubahan terhadap perubahan waktu— sangatlah penting sebagai definisi yang tepat pada beberapa konsep penting. Sebagai contohnya, turunan waktu terhadap posisi benda sangat penting dalam fisika Newtonan:

• kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu.
• percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua posisi benda terhadap waktu.

Turunan Parsial adalah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi yang memiliki lebih dari satu variable ke turunan parsialnya. Persamaan diferensial muncul secara alami dalam sains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri. Sebagai contoh, Hukum kedua Newton yang menggambarkan hubungan antara percepatan dengan posisi dapat dimulai dengan persamaan diferensial biasa:

 F (t) = m

Persamaan kalor di variable satu ruang yang menggambarkan bagaimana kalor dapat berdifusi melalui satu tongkat yang lurus adalah persamaan diferensial parsial

 = ∂² α

Di sini u(x, t) adalah temperatur tongkat pada posisi x dan waktu t dan α adalah sebuah tetapan yang bergantung pada seberapa cepat kalor tersebut berdifusi.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa Turunan Parsial dapat diterapkan dalam fenomena fisika yang luas seperti: gerak berputar benda, gerak benda dalam cairan, projektil, gerak dalam bidang miring, gerak pendulum, pasang-surut, bahkan orbit bulan dan planet

Dengan demikian, walaupan terkadang kita tidak menyadarinya, Turunan Parsial telah kita kenal dalam kehidupan sehari - hari seperti gerak ban mobil, bandul, dan lain - lain.

Dalam Bidang Ekonomi

Setiap bidang ilmu mempunyai bahasa sendiri-sendiri. Tentu saja ini benar untuk bidang ekonomi, yang mempunyai kosakata yang dikembangkan secara sangat khusus. Sekali kita mempelajari kosakata ini, kita akan menemukan bahwa banyak masalah ekonomi sebenarnya merupakan masalah kalkulus biasa yang dikenakan baju baru.
Tinjaulah sebuah perusahaan pada umumnya, PT. ABC untuk memudahkan, anggap bahwa ABC menghasilkan dan memasarkan sebuah barang; mungkin berupa televise, aki kendaraan, atau sabun dalam kemasan. Jika ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk tiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p bergantung pada x karena bilamana ABC akan perlu mengurangi harga tiap satuan agar dapat menjual seluruh hasil keluarannya. Pendapatan total yang dapat diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = xp(x), jumlah satuan kali harga tiap satuan.
Untuk memproduksi dan memasarkan x satuan, ABC akan mempunyai biaya total, C(x). Ini biasanya berupa jumlah dari biaya tetap (keperluan kantor, pajak bangunan dsb) ditambah biaya tidak tetap, yang secara langsung bergantung pada banyaknya satuan yang diproduksi. Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba, p(x). Laba adalah selisih antara pendapatan dan biaya, yakni

P(x) = R(x) – C(x) = xp(x) – C(x)

Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya.
Hal yang harus diperhatikan adalah perlunya membedakan masalah ekonomi dengan masalah fisika. Pada dasarnya, suatu produk akan berupa satuan-satuan diskrit (Anda tidak dapat membuat atau menjual 0,23 pesawat televise atau π aki mobil. Jadi, fungsi R(x), C(x), dan P(x) pada umumnya didefinisikan hanya untuk x = 0, 1, 2, …… . Hal ini menggambarkan salah satu aspek dari pemodelan matematika yang hampir selalu diperlukan, terutama dalam ilmu ekonomi. Untuk membuka model dari suatu masalah yang nyata dijumpai, kita harus menyederhakan beberapa anggapan. Ini berarti bahwa jawaban yang kita peroleh hanya menghampiri jawaban yang kita cari salah satu alasan bahwa ekonomi merupakan ilmu yang sedikit kurang sempurna. Seorang ahli statistik terkenal mengatakan : “Tidak ada model yang akurat, tapi banyak model yang bermanfaat.”
Suatu masalah yang berkaitan bagi seorang pakar ekonomi adalah bagaimana mendapatkan rumus untuk fungsi-fungsi C(x) dan p(x). Dalam hal yang sederhana, C(x) dapat berbentuk

C(x) = 10.000 + 50x

Jika demikian, Rp10.000,00 merupakan biaya tetap dan Rp.50x,00 merupakan biaya tidak tetap, berdasarkan pada biaya langsung Rp.50,00 untuk setiap sauna yang diproduksi. Barangkali contoh yang lebih umum adalah :
C(x) = 10.000 + 45x + 100
Perhatikanlah bahwa dalam kasus ini rata-rata biaya tidak tetap tiap satuan adalah :
 = 45 +
Suatu nilai yang berkurang apabila x bertambah (efisiensi dari besarnya produksi).
Pemilihan fungsi-fungsi biaya dan harga yang sesuai merupakan tugas yang tidak jelas . Kadangkala keduanya dapat ditentukan dari anggapan-anggapan dasar. Dalam kasus lain, kajian cermat tentang pengalaman perusahan akan menyarankan pilihan-pilihan yang layak. Kadang-kadang kita harus melakukannya hanya dengan pikiran saja.
Penggunaan kata marjinal. Andaikan ABC mengetahui funsi biayanya C(x) dan untuk sementara merencankan memproduksi 2000 satuan tahun ini. Direktur utama Toko Buku Karisma ingin menetapkan biaya tambahan tiap satuan jika ABC memperbesar produksinya sedikit. Misalnya, APakah itu akan kurang dari pendapatan tambahan tiap satuan? Jika demikian, akan merupakan pertimbangan ekonomi yang baik untuk memperbesar produksinya.
Direktur Utama Toko Buku Karisama menanyakan nilai delta C/delta x pada saat delta x=1. Tetapi kita mengharapkan bahwa ini sangat dekat terhadap nilai

Pada saat x = 2000, ini disebut biaya marjinal. Kita para matematikawan mengenalnya sebagai dC/dx, turunan C terhadap x.
Dengan cara yang serupa, kita definisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal sebagai dR/dx, dan laba marjinal sebagai dP/dx.
Contoh:
Andaikan   C(x) = 8300 = 3,25x + 40
Carilah biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal, dan kemudian hitunglah kedua biaya tersebut bilamana x = 1000.
Penyelesaian:

Biaya rata-rata :  =

Biaya marjinal :  = 3,25 +

Pada x = 1000, ini masing-masing mempunyai nilai-niali 11,95 dan 3,38. Ini berarti bahwa rata-rata biaya setiap satuan adalah Rp11,95,00 untuk memproduksi 1000 satuan yang pertama; untuk memproduksi satu satuan tambahan di atas 1000 hanya memerlukan biaya Rp3,38,00.

  Penerapan penggunaan turunan parsial matematika pada kehidupan sehari-hari sangat banyak. Hampir semua bidang ada. Namun pada saat ini saya akan menjelaskan penggunaan turunan parsial dalam bidang ekonomi.

            Pada bidang ekonomi fungsi turunan dipakai untuk mencari biaya marjinal, yaitu dengan cara menurunkannya dari persamaan biaya total. Bisa ditulis biaya marjinal = biaya total’. Para matematikawan mengenal biaya marjinal  sebagai dc/dx, turunan C terhadap x. dengan demikian dapat didefinisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal sebagai dR/dX, dan keuntungan marjinal sebagai dp/dx.

Berikut contoh soalnya

            sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x – 0,0003x² dengan jumlah persatuan x=1000. tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal?

Penyelasaian

biaya rata-rata = C(x)/x

= 3200+3,25x-0,0003x² / X

= 3200+3,25 (1000)-0,0003(1000)² / 1000

= 6150 / 1000 = 6,15

Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp.6150

biaya marjinal = dc/dx

= 3,25-0,0006x

= 3,25-0.0006 (1000)

= 2,65

maka biaya marjinalnya, 2,65 x 1000 = Rp.2650 Pada x=1000

            Dari hasil di atas, dapat dikatakan bahwa dibutuhkan Rp.6150 untuk memproduksi 1000 barang pertama dan membutuhkan Rp. 2,65 untuk membuat 1 barang  setelah barang yang ke 1000, hanya dibutuhkan Rp. 2650 untuk membuat 1000 barang yang sama.

Dalam Bidang Matematika

Turunan digunakan untuk pencarian dalam limit, yang bentuk soal limitnya harus di faktorkan atau di kalikan terlebih dahulu dengan akar sekawan. Selain itu , Aplikasi turunan juga digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung.

Contoh penggunaan Turunan untuk menentukan Garis singgung :

Tentukan persamaan garis singgung dari y = x³ - 2x² - 5 pada titik (3,2).

Jawab :

Y=f(x)= x³-2x²-5

Y=f(x)=3x²-4x f ’(3) = 3(3)² - 4(3) = 15 ; m = 15.

Rumus pers. Garis singgung :

y-y_o = m (x-x_o)

, maka garis singgung fungsi diatas adalah :

Y – 2 = 15 (x – 3) atau y = 15x – 43